Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Mathe Montag: Hula-Hoop-Geometrie

Von Glen Whitney für das Mathematikmuseum

Math Montags hat bisher eine breite Palette verschiedener Elemente gezeigt, aus denen man eine enorme Vielfalt geometrischer Konstruktionen herstellen kann, aber bisher gab es noch keine für Hula-Reifen. Diese und die nächste Woche werden wir dieses Versehen beheben. Außerdem haben die Postings die Konstruktionen bisher fast vollständig als vollendete Tatsachen herausgestellt, daher wird diese Serie auch versuchen, einen Einblick in den Prozess der Erarbeitung einer neuen Kreation zu geben.

Erstens, warum Hula-Reifen? Sie sind eine ziemlich billige Quelle für große, vorgefertigte Kreise, im Allgemeinen anständig symmetrisch und stark. Sie sind also ein Kandidat für jedes groß angelegte Bauprojekt, das auf der Geometrie eines Kreises basieren kann. Was sind einige Beispiele? Nun, Sie können sich jeden Kreis als großen Kreis auf einer Kugel vorstellen und fragen: Gibt es eine Möglichkeit, vier davon so anzuordnen, dass jeder Schnittpunkt zwischen großen Kreisen gleich weit von seinen nächsten Nachbarn entfernt ist? Das führt zu einer angenehmen Konstruktion, etwa so:

Aufgabe: Können Sie dasselbe mit sechs Hula-Reifen tun?

Für eine kürzlich stattgefundene Veranstaltung wünschte MoMath eine große öffentliche Bautätigkeit. Daher hat sich Designer Tim Nissen, basierend auf unserem bisherigen Erfolg mit Hula-Hoops-Reifen, eine gigantische Reifenpyramide ausgedacht - hier die erste Vorstellung:

Nun, das ist eine Menge Reifen, also haben wir uns entschieden, ein Sierpinski-Tetraeder anstelle einer festen Pyramide auszuprobieren, die mindestens genauso mathematisch cool ist und deutlich weniger Material benötigt. (Es ist interessant, darüber nachzudenken, wie viel weniger…) Alle guten Gebäudeereignisse erfordern eine Probe. Daher versammelten sich einige Leute, um an einem Sonntagnachmittag Hula-Hoops zusammenzubinden.

Die anfängliche Verbindung von vier Reifen zu einer Art abgestumpftem Tetraeder verlief gut, und vier davon wurden zu einem Sierpinski-Tetraeder der Ordnung 1 kombiniert, wie Sie dem folgenden Foto entnehmen können. Es ist interessant zu beachten, dass wenn Sie vier feste Tetraeder an den Eckpunkten anbringen, um ein Sierpinski-Tetraeder der ersten Ordnung zu erzeugen, der verbleibende Hohlraum eine andere Form hat (welche Form?) - während bei dieser auf Kreisen basierenden Konstruktion der zentrale Hohlraum identisch ist die vier Einheiten, die kombiniert wurden.

Wir haben es sogar geschafft, vier der Order-1-Einheiten in einem Order-2-Tetraeder ziemlich gut zu kombinieren:

Beachten Sie im nächsten Schritt, dass die Tetraeder der Ordnung 2 zu groß waren, als dass wir eins auf drei direkt setzen könnten. Daher planten wir, diese Order-2 auf drei Tetraeder der Ordnung 1 zu platzieren, eines an jeder Ecke, und dann die gesamte Struktur anzuheben auf drei "Basen", die jeweils aus drei Tetraedern der Ordnung 1 bestehen. Wir sind jedoch nie so weit gekommen: Als wir das Tetraeder-Order-2 auf den drei Order-1s befestigt haben, ist Folgendes passiert:

Totaler struktureller Zusammenbruch, der zu Hula-Chaos führt! Was ist zu tun?

Fortsetzung in Mathe Montag: Hula-Hoop-Geometrie, Teil II…

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