Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Mathe Montag: Hula-Hoop-Geometrie, Teil II

Von Glen Whitney für das Mathematikmuseum

Als wir zuletzt unseren unerschrockenen Hula-Hoop-bewaffneten Mathematiker verlassen hatten, hatten sie gerade einen Zusammenbruch des Sierpinski-Tetraeders auf halbem Weg zwischen Order 2 und Order 3 erlitten. Was tun?

Beim Krabbeln durch das verdrehte Wrack entdeckten wir drei Hauptarten des Versagens: Erstens sackte das Tetraeder der Ordnung 2 stark ab, als es in die Luft gehoben wurde. Zweitens drehten sich die Verbindungen zwischen den Hula-Hoops, die von Pfeifenreinigern gehalten werden, in Winkel und Orientierungen, die weit vom gewünschten Tetraeder-Diederwinkel entfernt waren. Drittens verzogen einige einzelne Reifen unter starker Beanspruchung bis zum Punkt des elastischen Versagens und entwickelten dauerhafte Knicke.

Daher haben wir Maßnahmen ergriffen, um alle drei dieser Probleme zu bekämpfen. Zunächst zeigte uns der Versuchsaufbau, welche Reifen in Spannung waren und welche in Kompression. Grob gesagt sind alle horizontalen Reifen in Spannung, als die Pyramide versucht, sich auszubreiten, und alle geneigten Hula-Reifen stehen unter Druck. Um das erste Problem zu lösen (Durchhängen), haben wir nur zwischen zwei (aber nicht rührende) Hula-Reifen Twist-Tie-Loops hinzugefügt, um zu verhindern, dass sie sich so weit ausbreiten.

Zweitens haben wir mit verschiedenen Materialien experimentiert, um die Ringe miteinander zu verbinden, und entschieden uns für eine selbstklebende Kompressionsbandage als Ideal: Sie bot eine breite Verbindung mit hoher Reibung, die das Problem der Drehung eines Hula-Hoop-Reifens gegenüber dem Nachbarn praktisch eliminierte.

Und drittens zeigte die Prototyping-Phase, dass drei einzelne Hula-Hoops den Löwenanteil der gesamten Kompressionslast der Konfiguration einnehmen. Die drei Reifen, die nach innen zur Mitte schräg sind, genau unter den drei unteren Eckpunkten des oberen Tetraeders der Ordnung zwei, verformten sich alle sehr stark. Um diese zu sichern, bohrten wir zwei Löcher mit dem gleichen Durchmesser wie das Hula-Rohr in der Seite eines PVC-Rohrs mit einem Abstand von einem Hula-Durchmesser. Wir schneiden das Rohr über den Durchmesser der Löcher hinaus, um so „Kiefer“ zu schaffen, die die Hula-Reifen ergreifen und die Stützen an Ort und Stelle halten.

Mit diesen Änderungen trafen sich einige MoMath-Freunde und Mitarbeiter erneut für eine zweite Übung. Und diesmal gelang es uns mit ein paar Änderungen, das gesamte Tetraeder der Ordnung 3 in die Luft zu bekommen (wie im Eröffnungsbild zu sehen).

Diese Erfahrung ergab eine zusätzliche Lektion für die tatsächliche öffentliche Konstruktion: Das Anbringen der Ringe symmetrisch, so dass die drei anfänglichen Befestigungspunkte jeden Reifen genau in Drittel unterteilt haben, war wirklich wichtig für die Qualität des resultierenden Tetraeders. Also haben wir jeden der 256 Hula-Reifen an den Drittelpunkten mit einem Stück Kompressionsband markiert. Letztes Wochenende beim World Science Festival in New York City bauten unsere Besucher schließlich dieses riesige Sierpinski-Tetraeder auf der Grundlage der sorgfältigen Vorarbeit, die wir in unseren Übungsläufen gelegt hatten:

Hula-Hoop-Geometrie, Teil I

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