Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Mathe Montag: Verknüpfungen - Lassen Sie uns das gerade machen

Für das Mathematikmuseum

Math Montags kehrt zu seiner mehrteiligen Tour durch die wunderbare Welt der Verbindungen zurück. In der Einführung der Linkages-Serie finden Sie das MoMath Linkage Kit, eine Einführung und allgemeine Anweisungen.

Wenn Sie sich erinnern, stellte Math Mondays in der letzten Rate vor der Verschnaufpause eine Frage / Herausforderung: Gibt es eine Viergelenk-Verbindung, die eine präzise gerade Bewegung erzeugt? Wie wäre es mit einer Verknüpfung? Die heutige Kolumne zeigt, anstatt die Antwort zu enthüllen, die Tiefe, Subtilität und Ausdauer dieses Problems, indem sie drei "Beinahe-Fehler" gibt, die Forscher versuchen, dieses Problem zu lösen. Die erste davon wurde von dem historisch prominenten Mathematiker Tschebyschew entwickelt, der zeigt, dass dies ein Problem von großem mathematischem Respekt und Bedeutung ist.

Zutaten für Chebychev-Verbindungen: Ein 48-Stab (A), zwei 60-Stab (B und D), ein 24-Stab mit einem Loch bei 12 (C) und ein Stift.

Anweisungen: Fixieren Sie A horizontal. Verbinde das linke Ende von A mit B mit C0; Verbinden Sie C24 mit D und D zurück zum rechten Ende von A. Setzen Sie einen Stift in C12.

Anwendung: Bewegen Sie eine 60 so weit wie möglich vor und zurück, wobei der Stift in der Lochzeichnung auf dem Papier bleibt.

Zur Abwechslung gibt es hier die Verbindung, bei der die Kit-Teile von Hand von Papier anstelle von Laserschneiden aus Acryl geschnitten werden und Messing-Verbindungselemente für die Verbindungen verwendet werden:

Und hier sind zwei Einstellungen davon: Beachten Sie, wie sich die 60 Takte kreuzen müssen, um den (scheinbar sehr geraden) Kurvenabschnitt zu erhalten:

Als Chebyshev herausfand, dass die obige Kurve in keinem Teil tatsächlich gerade ist und bei seinen Bemühungen, eine geradlinige Verbindung zu finden, ausreichend behindert war, vermutete er, dass es mathematisch unmöglich war, eine geradlinige Verbindung herzustellen. Das hinderte andere nicht daran, es zu versuchen. Hier sind ein paar andere Versuche:

Hoekens Linkage

Zutaten: Ein 24-Stab (A), ein 12-Stab (B), ein 60-Stab mit einem Loch bei 30 (C), ein 30-Stab (D) und ein Stift.

Anweisungen: Fixieren Sie A horizontal. Verbinde das linke Ende von A mit B mit C0; Verknüpfen Sie C30 mit D und D zurück zum rechten Ende von A. Setzen Sie einen Stift in C60.

Verwendung: Drehen Sie B eine volle Umdrehung und halten Sie den Stift in der Lochzeichnung auf dem Papier.

Hier ist die Verknüpfung, bereit zum Zeichnen:

Und hier ist die fertige Kurve:

Ähnlich aussehend? Überraschung: Die Verbindung von Hoekens und die Verbindung von Chebyshev erzeugen exakt dieselbe Kurve. Tatsächlich gibt es eine ganze Theorie von "verwandten Verknüpfungen", die dieselbe Ausgangskurve erzeugen. Diese Theorie schließt den Roberts-Chebychev-Theorem ein, der besagt, dass "jede Kopplungskurve [Ausgangskurve] durch drei verschiedene Viergelenkverbindungen erzeugt werden kann."

Nun, wenn Roberts klug genug mit Verknüpfungen war, um einen Satz mit Chebyshev über sie zu haben, dann muss er auch seine eigene Verknüpfung haben, richtig? Genau:

Roberts Linkage Ingredients: Ein 48-Stab (A), vier 60-Stab (B, C, E, F), ein 12-Stab (D), zwei dreilagige Linker und ein Stift.

Anweisungen: Fixieren Sie A horizontal. Verknüpfen Sie das linke Ende von A mit B. Verknüpfen Sie das andere Ende von B mit C und D. Verknüpfen Sie das andere Ende von D mit E und F. Verknüpfen Sie das andere Ende von F mit dem rechten Ende von A die beiden losen Enden - die entfernten Enden von C und E - zusammen mit einem Stift.

Verwendung: Bewegen Sie den Stift so weit wie möglich hin und her.

Hier ist ein Bild von der Roberts-Verbindung, die gebaut und in Aktion ist. Wieder sieht es klar aus, ist es aber nicht. Beachten Sie, dass die horizontale Leiste A unter dem Papier versteckt ist, auf dem die Verbindung gezeichnet wird.

Nächstes Mal: ​​Auflösung des geraden Rätsels.

Mehr:

  • Verknüpfungen, Einleitung
  • Verbindungen, Teil 2: Vier Barren, eine Freiheit
  • Verbindungen, Teil 3: Vier Bars, zwei oder drei Positionen
  • Verbindungen, Teil 4: Vier Stäbe, vier Positionen
  • Verknüpfungen, Teil 5: Vier Bars, mehr Positionen?
  • Verknüpfungen, Teil 6: Biomimikry
  • Verbindungen, Teil 7: Die Welt "B.X."
  • Verknüpfungen, Teil 8: Auf der Suche nach Geradheit
  • Alle unsere Math Monday-Kolumnen sehen

Aktie

Leave A Comment